토목기사 동수역학·관수로·개수로 개념 정리
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개요
이 단원은 흐르는 물을 다룹니다. 연속방정식·베르누이 정리·운동량방정식으로 기본을 세우고, 관 속을 가득 채워 흐르는 관수로와 수면이 있는 개수로, 오리피스·위어, 지하수 흐름까지 이어집니다. 수리학에서 문제 수가 가장 많은 단원입니다.
연속방정식은 유량이 어디서나 같다는 식(Q = A₁V₁ = A₂V₂)입니다. 베르누이 정리는 위치수두, 압력수두, 속도수두의 합이 손실이 없으면 일정하다는 뜻입니다. 관 흐름은 레이놀즈수가 2,000 보다 작으면 층류이고, 이때 마찰손실계수는 64/Re 입니다.
관수로의 마찰손실수두는 다르시-바이스바흐 공식 hL = f(L/D)(V²/2g) 로 구합니다. 개수로에서는 프루드수로 흐름을 나누며, 1 보다 작으면 상류, 크면 사류입니다. 사류가 상류로 갑자기 바뀌며 수면이 뛰어오르는 현상이 도수입니다.
직사각형 수로에서 가장 효율적인 단면은 폭이 수심의 2배일 때입니다. 지하수 흐름은 다르시 법칙(V = k·i)을 따르며, 유속은 투수계수와 동수경사에 비례합니다.
핵심 개념
베르누이 정리
손실이 없는 흐름에서 z + p/γ + V²/2g(위치수두 + 압력수두 + 속도수두)는 일정합니다. 실제 흐름에서는 손실수두를 더해 줍니다.
외우는 요령세 수두의 합은 일정, 손실은 따로 더한다.
레이놀즈수
Re = VD/ν 로 흐름이 층류인지 난류인지 나눕니다. 관에서 Re 가 2,000 보다 작으면 층류이고, 층류의 마찰손실계수는 f = 64/Re 입니다.
외우는 요령층류 f = 64/Re.
다르시-바이스바흐 공식
관수로 마찰손실수두 hL = f(L/D)(V²/2g) 입니다. 관 길이와 속도수두에 비례하고 관 지름에 반비례합니다.
외우는 요령길면 손실 증가, 굵으면 손실 감소.
프루드수와 상류·사류
Fr = V/√(gh) 로, 1 보다 작으면 상류(느리고 깊은 흐름), 1 이면 한계류, 1 보다 크면 사류(빠르고 얕은 흐름)입니다.
외우는 요령레이놀즈는 층류·난류, 프루드는 상류·사류.
수리상 유리한 단면
같은 단면적에서 유량이 가장 많은 단면입니다. 직사각형 수로는 폭이 수심의 2배(b = 2h)일 때이며, 이때 경심은 h/2 입니다.
외우는 요령폭은 수심의 2배.
다르시 법칙
지하수의 유속은 투수계수 k 와 동수경사 i 의 곱(V = k·i)이고, 유량은 Q = k·i·A 입니다. 층류인 흐름에만 맞습니다.
외우는 요령유속 = 투수계수 × 경사.
자주 나오는 포인트
- 연속방정식으로 지름이 바뀐 관의 유속을 구하는 문제가 자주 나옵니다(면적은 지름의 제곱에 비례).
- 레이놀즈수(층류·난류)와 프루드수(상류·사류)를 헷갈리지 마세요.
- 마찰손실수두는 유속의 제곱에 비례합니다.
- 도수는 사류에서 상류로 바뀔 때 생깁니다.
헷갈리는 것 비교: 흐름을 나누는 두 무차원수
| 구분 | 레이놀즈수 | 프루드수 |
|---|---|---|
| 식 | Re = VD/ν | Fr = V/√(gh) |
| 나누는 흐름 | 층류 · 난류 | 상류 · 사류 |
| 주로 쓰는 곳 | 관수로 | 개수로 |
대표 문제 3개
검수를 마친 예상문제 가운데 이 단원의 대표 문제입니다.
문제 1. 지름 0.2m 관에서 유속 2m/s 로 흐르던 물이 지름 0.1m 관으로 들어간다. 작은 관에서의 유속은?
- ① 4m/s
- ② 8m/s
- ③ 16m/s
- ④ 0.5m/s
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정답: ② 8m/s
핵심: 연속방정식 A₁V₁ = A₂V₂, 면적은 지름의 제곱에 비례
흐르는 물의 양(유량)은 관 어디에서나 같습니다.
- A₁V₁ = A₂V₂ → V₂ = V₁ × (D₁/D₂)²
- 지름 비: 0.2 ÷ 0.1 = 2, 제곱하면 4
- V₂ = 2 × 4 = 8m/s
- 검산: 유량 = π × 0.2² ÷ 4 × 2 ≈ 0.0628m³/s, π × 0.1² ÷ 4 × 8 ≈ 0.0628m³/s 로 같습니다.
틀린 선지
- 4m/s: 지름 비(2배)를 제곱하지 않고 곱하기만 한 값입니다.
- 16m/s: 지름 비를 세제곱한 값입니다.
- 0.5m/s: 관이 가늘어지면 유속이 느려진다고 거꾸로 본 값입니다.
문제 2. 지름 0.2m, 길이 100m 인 관에서 평균유속이 2m/s 이고 마찰손실계수 f = 0.02 일 때 마찰손실수두는 약 얼마인가? (단, g = 9.81m/s²)
- ① 4.08m
- ② 1.02m
- ③ 2.04m
- ④ 8.16m
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정답: ③ 2.04m
핵심: 마찰손실수두 hL = f × (L/D) × V²/(2g)
Darcy-Weisbach 식으로 관 마찰에 의한 수두 손실을 구합니다.
- L/D = 100 ÷ 0.2 = 500
- 속도수두: V²/(2g) = 4 ÷ 19.62 ≈ 0.2039m
- hL = 0.02 × 500 × 0.2039 ≈ 2.04m
- 검산: f × L/D = 10 이므로 손실은 속도수두의 10배이고, 0.204 × 10 = 2.04m 로 맞습니다.
틀린 선지
- 4.08m: 속도수두에서 2g 대신 g 로 나눈 값입니다.
- 1.02m: 유속을 제곱하지 않은 값입니다.
- 8.16m: 마찰손실계수를 4배로 잘못 넣은 값입니다.
문제 3. 폭 4m 인 직사각형 개수로를 수리상 가장 유리한 단면으로 만들 때의 경심(동수반경)은?
- ① 1.0m
- ② 2.0m
- ③ 1.33m
- ④ 0.67m
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정답: ① 1.0m
핵심: 수리상 유리한 직사각형 단면: 폭 = 2 × 수심, 경심 = 수심/2
수리상 유리한 단면은 같은 면적에서 윤변(물이 벽에 닿는 길이)이 가장 짧아 유량이 가장 많은 단면입니다. 직사각형은 폭이 수심의 2배일 때입니다.
- 수심 h = 4 ÷ 2 = 2m
- 면적 A = 4 × 2 = 8m², 윤변 P = 4 + 2 × 2 = 8m
- 경심 R = A ÷ P = 8 ÷ 8 = 1.0m
- 검산: 이 단면의 경심은 수심의 절반(2 ÷ 2 = 1m)이 됩니다.
틀린 선지
- 2.0m: 수심(2m)을 경심으로 혼동한 값입니다.
- 1.33m: 윤변에 옆벽을 한쪽만 넣은 값입니다.
- 0.67m: 윤변에 물과 공기가 닿는 수면 폭까지 넣은 값입니다.
AI 작성 · 검수 완료 · AI가 새로 쓴 글 가운데, 작성과 분리된 AI 검증(다시 읽고 사실·수치 확인)을 통과한 단원만 싣습니다. 틀린 곳을 발견하면 알려 주세요.