토목기사 기둥·트러스와 부정정 구조물 개념 정리
중요도 ★★★★☆ · 30% (추정)
개요
이 단원은 기둥의 좌굴, 트러스·라멘·아치·케이블 같은 구조물의 해석, 탄성변형 에너지, 부정정 구조물을 배웁니다. 공식의 종류가 많으므로 지지 조건과 구조 형식별로 정리해 두는 것이 중요합니다.
가늘고 긴 기둥(장주)은 재료가 부서지기 전에 옆으로 휘어 무너지는데, 이때의 하중이 오일러 좌굴하중 Pcr = π²EI/(kL)² 입니다. 유효길이계수 k 는 양단 힌지 1.0, 1단 고정·1단 자유 2.0, 1단 고정·1단 힌지 0.7, 양단 고정 0.5 입니다. 짧은 기둥(단주)은 하중이 핵 안에 있어야 단면 전체가 압축을 받으며, 직사각형 단면의 핵 거리는 h/6 입니다.
트러스는 절점법이나 단면법으로 부재력을 구합니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 모이고 둘이 한 직선 위에 있지 않으면 두 부재력은 모두 0 입니다. 탄성변형 에너지는 축력 부재에서 U = P²L/(2EA) 이고, 에너지를 하중으로 미분하면 그 하중 방향의 변위가 나온다는 것이 카스틸리아노 정리입니다.
부정정 차수는 미지수의 수에서 평형식의 수를 뺀 값입니다. 0 이면 정정, 양수면 부정정, 음수면 불안정입니다. 트러스의 부정정 차수는 부재 수 + 반력 수 − 2 × 절점 수로 구합니다.
핵심 개념
오일러 좌굴하중
장주가 옆으로 휘어 무너지는 하중으로 Pcr = π²EI/(kL)² 입니다. 좌굴하중은 유효길이(kL)의 제곱에 반비례합니다.
외우는 요령길이가 2배면 좌굴하중은 1/4.
유효길이계수 k
양단 힌지 1.0, 1단 고정·1단 자유 2.0, 1단 고정·1단 힌지 0.7, 양단 고정 0.5 입니다. k 가 작을수록 좌굴에 강합니다.
외우는 요령자유 2, 힌지 1, 고정·힌지 0.7, 양단 고정 0.5.
단주의 핵
편심하중이 핵 안에 있으면 단면에 인장이 생기지 않습니다. 직사각형 단면은 도심에서 h/6 까지(핵의 폭 h/3), 원형 단면은 도심에서 지름의 1/8 까지입니다.
외우는 요령직사각형 h/6, 원형 D/8.
트러스의 0 부재
하중이 없는 절점에 한 직선 위에 있지 않은 두 부재만 모이면 두 부재력은 모두 0 입니다. 세 부재 중 두 개가 한 직선이면 나머지 하나가 0 입니다.
외우는 요령하중 없는 절점부터 0 부재를 지우고 시작한다.
탄성변형 에너지
축력 P 를 받는 부재(길이 L, 단면적 A)에 저장되는 에너지는 U = P²L/(2EA) 입니다. 카스틸리아노 정리에 따라 에너지를 하중으로 편미분하면 그 하중 방향의 변위가 됩니다.
외우는 요령에너지는 하중의 제곱에 비례.
부정정 차수
미지수 수 − 평형식 수입니다. 트러스는 부재 수 + 반력 수 − 2 × 절점 수로 구하며, 0 이면 정정, 양수면 부정정, 음수면 불안정입니다.
외우는 요령트러스는 m + r − 2j.
자주 나오는 포인트
- 좌굴 문제는 지지 조건에서 k 를 먼저 정하고 (kL)² 으로 나누세요.
- 세장비는 kL ÷ 회전반경입니다. 세장비가 클수록 좌굴되기 쉽습니다.
- 트러스 단면법은 미지수가 3개 이하가 되도록 잘라 모멘트 평형식부터 씁니다.
- 부정정 차수가 음수면 불안정 구조로, 구조물로 쓸 수 없습니다.
헷갈리는 것 비교: 기둥 지지 조건별 유효길이계수
| 지지 조건 | k | 좌굴하중 비(양단 힌지 = 1) |
|---|---|---|
| 1단 고정 · 1단 자유 | 2.0 | 1/4 |
| 양단 힌지 | 1.0 | 1 |
| 1단 고정 · 1단 힌지 | 0.7 | 약 2 |
| 양단 고정 | 0.5 | 4 |
대표 문제 3개
검수를 마친 예상문제 가운데 이 단원의 대표 문제입니다.
문제 1. 양단이 힌지인 기둥의 오일러 좌굴하중이 P 일 때, 재료·단면·길이가 같고 양단을 고정한 기둥의 좌굴하중은?
- ① 2P
- ② 0.25P
- ③ 4P
- ④ 8P
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정답: ③ 4P
핵심: 좌굴하중 Pcr = π²EI/(kL)², 양단 고정 k = 0.5 → 4배
오일러 좌굴하중은 유효길이(kL)의 제곱에 반비례합니다.
- 양단 힌지: k = 1.0, 양단 고정: k = 0.5
- 비율: (1.0 ÷ 0.5)² = 2² = 4
- 양단 고정 기둥의 좌굴하중 = 4P
- 검산: 1단 고정 1단 자유(k = 2.0)이면 (1 ÷ 2)² = 0.25P 로 가장 작고, 양단 고정이 가장 큽니다.
틀린 선지
- 2P: 유효길이계수 비(1 → 0.5)를 제곱하지 않고 계산한 값입니다.
- 0.25P: 좌굴하중이 줄어드는 쪽(1단 고정 1단 자유에 가까운 쪽)으로 거꾸로 본 값입니다.
- 8P: 유효길이계수를 0.35 처럼 잘못 잡은 값입니다.
문제 2. 지름 100mm 인 원형 단면 기둥의 길이가 3m 이고 양단이 힌지이다. 세장비는?
- ① 30
- ② 120
- ③ 60
- ④ 240
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정답: ② 120
핵심: 세장비 λ = kL / r, 원형 단면 회전반경 r = D/4
세장비는 기둥이 얼마나 가늘고 긴지를 나타내며 λ = kL/r 입니다.
- 회전반경: r = D/4 = 100 ÷ 4 = 25mm
- 유효길이: 양단 힌지 k = 1 → kL = 3,000mm
- λ = 3,000 ÷ 25 = 120
- 검산: 120 × 25 = 3,000mm = 3m 로 맞습니다.
틀린 선지
- 30: 길이를 지름으로 나눈 값입니다.
- 60: 길이를 반지름(50mm)으로 나눈 값입니다.
- 240: 유효길이계수를 2 로 잘못 잡은 값입니다.
문제 3. 휨강성 EI = 2,000kN·m², 길이 4m 인 기둥의 아래 끝은 고정, 위 끝은 자유이다. 오일러 좌굴하중은 약 얼마인가?
- ① 617kN
- ② 308kN
- ③ 1,234kN
- ④ 4,935kN
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정답: ② 308kN
핵심: 1단 고정 1단 자유 기둥: 유효길이 kL = 2L
1단 고정·1단 자유 기둥은 유효길이계수 k = 2 입니다.
- 유효길이: kL = 2 × 4 = 8m
- π²EI = 9.8696 × 2,000 ≈ 19,739kN·m²
- Pcr = 19,739 ÷ 8² = 19,739 ÷ 64 ≈ 308kN
- 검산: 양단 힌지라면 19,739 ÷ 16 ≈ 1,234kN 이고, 그 1/4 이 308kN 이므로 맞습니다.
틀린 선지
- 617kN: 유효길이계수 2 를 제곱하지 않고 곱하기만 한 값입니다.
- 1,234kN: 양단 힌지(k = 1)로 계산한 값입니다.
- 4,935kN: 양단 고정(k = 0.5)으로 계산한 값입니다.
AI 작성 · 검수 완료 · AI가 새로 쓴 글 가운데, 작성과 분리된 AI 검증(다시 읽고 사실·수치 확인)을 통과한 단원만 싣습니다. 틀린 곳을 발견하면 알려 주세요.