토목기사 힘·모멘트와 단면의 성질 핵심정리

단면 2차 모멘트(휨에 버티는 단면의 성질)는 축과 직각 방향 길이인 높이를 세제곱합니다.

1. 식: I = bh³ / 12
2. 대입: 300 × 600³ ÷ 12 = 300 × 216,000,000 ÷ 12
3. 계산: 64,800,000,000 ÷ 12 = 5.4 × 10⁹ mm⁴
4. 검산: 5.4 × 10⁹ × 12 ÷ 300 = 2.16 × 10⁸ = 600³ 이므로 맞습니다.

틀린 선지

• 1.35 × 10⁹ mm⁴: 폭과 높이를 바꿔 넣은 값(600 × 300³ ÷ 12)입니다.
• 2.16 × 10¹⁰ mm⁴: 밑변을 지나는 축의 공식 bh³/3 으로 계산한 값입니다.
• 2.7 × 10⁹ mm⁴: 12 대신 24 로 나눈 값입니다.

단면계수는 단면 2차 모멘트를 도심에서 가장 먼 끝까지 거리로 나눈 값입니다. 직사각형은 Z = bh²/6 입니다.

1. 식: Z = bh² / 6
2. 대입: 300 × 400² ÷ 6 = 300 × 160,000 ÷ 6
3. 계산: 48,000,000 ÷ 6 = 8.0 × 10⁶ mm³
4. 검산: I = 300 × 400³ ÷ 12 = 1.6 × 10⁹, 이것을 h/2 = 200 으로 나누면 8.0 × 10⁶ 으로 같습니다.

틀린 선지

• 6.0 × 10⁶ mm³: 폭과 높이를 바꿔 넣은 값(400 × 300² ÷ 6)입니다.
• 1.6 × 10⁷ mm³: bh²/3 으로 계산한 값입니다.
• 2.4 × 10⁷ mm³: 6 대신 2 로 나눈 값입니다.

후크의 법칙(응력 = 탄성계수 × 변형률)에서 늘음량은 δ = PL/(AE) 입니다. 단위를 N 과 mm 로 맞춥니다.

1. P = 50kN = 50,000N, L = 2m = 2,000mm
2. 분자: 50,000 × 2,000 = 100,000,000
3. 분모: 500 × 200,000 = 100,000,000
4. δ = 1.0mm
5. 검산: 응력 50,000 ÷ 500 = 100MPa, 변형률 100 ÷ 200,000 = 0.0005, 0.0005 × 2,000 = 1.0mm 로 같습니다.

틀린 선지

• 0.5mm: 길이 2m 를 1m 로 잘못 넣은 값입니다.
• 2.0mm: 단면적을 절반(250mm²)으로 잘못 넣은 값입니다.
• 10mm: 단위를 바꿀 때 10배 크게 계산한 값입니다.

도심은 각 부분의 단면 1차 모멘트(면적 × 거리)를 더해 전체 면적으로 나눕니다.

1. 복부: 면적 20 × 120 = 2,400mm², 밑면에서 도심 60mm
2. 플랜지: 면적 300 × 20 = 6,000mm², 밑면에서 도심 120 + 10 = 130mm
3. 단면 1차 모멘트 합: 2,400 × 60 + 6,000 × 130 = 144,000 + 780,000 = 924,000mm³
4. 도심 거리: 924,000 ÷ 8,400 = 110mm
5. 검산: 윗면에서는 140 − 110 = 30mm 이고, 넓은 플랜지가 위에 있으니 도심이 위쪽에 치우친 것이 맞습니다.

틀린 선지

• 95mm: 두 부분의 도심 높이(60mm, 130mm)를 면적과 상관없이 단순 평균한 값입니다.
• 70mm: 전체 높이의 절반으로, 모양이 위아래 대칭일 때만 맞습니다.
• 30mm: 윗면에서 잰 거리로, 밑면 기준 값이 아닙니다.

회전반경은 r = √(I/A) 로 구합니다.

1. 원형 단면: I = πD⁴/64, A = πD²/4
2. I/A = (πD⁴/64) ÷ (πD²/4) = D²/16
3. r = √(D²/16) = D/4
4. 검산: D = 100mm 이면 r = 25mm 이고, 25² × A = 625 × 7,854 ≈ 4.91 × 10⁶ = π × 100⁴ ÷ 64 로 맞습니다.

틀린 선지

• D/2: 반지름 값으로, 회전반경과 다릅니다.
• D/8: 4 대신 8 로 나눈 잘못된 값입니다.
• D/√12: 직사각형 단면(높이 h)의 회전반경 h/√12 과 혼동한 값입니다.

두 힘 사이 각이 θ 일 때 합력은 R = √(P² + Q² + 2PQcosθ) 입니다.

1. P² + Q² = 900 + 1,600 = 2,500
2. 2PQcosθ = 2 × 30 × 40 × 0.5 = 1,200
3. R = √3,700 ≈ 60.8kN
4. 검산: 각이 0° 이면 70kN, 90° 이면 50kN 이므로 60° 의 합력은 그 사이 값인 것이 맞습니다.

틀린 선지

• 50.0kN: 두 힘이 직각(90°)일 때의 합력입니다.
• 70.0kN: 두 힘이 같은 방향일 때처럼 단순히 더한 값입니다.
• 36.1kN: 식에서 2PQcosθ 를 더하지 않고 뺀 값입니다.

직사각형은 도심축에 대한 상승 모멘트가 0 이므로, 평행축 정리로 Ixy = 0 + A·x̄·ȳ 입니다.

1. 면적 A = 100 × 200 = 20,000mm²
2. 도심 거리: x̄ = 100 ÷ 2 = 50mm, ȳ = 200 ÷ 2 = 100mm
3. Ixy = 20,000 × 50 × 100 = 1.0 × 10⁸ mm⁴
4. 검산: b²h²/4 = 100² × 200² ÷ 4 = 10,000 × 40,000 ÷ 4 = 1.0 × 10⁸ 으로 같습니다.

틀린 선지

• 0: 도심을 지나는 대칭축에 대한 값으로, 모서리 축에서는 0 이 아닙니다.
• 5.0 × 10⁷ mm⁴: 도심 거리 중 하나를 빠뜨리고 절반만 반영한 값입니다.
• 2.5 × 10⁷ mm⁴: b²h²/16 으로 잘못 계산한 값입니다.