토목기사 힘·모멘트와 단면의 성질 개념 정리
중요도 ★★★★☆ · 30% (추정)
개요
이 단원은 구조 계산의 출발점인 힘과 모멘트, 단면의 성질, 재료의 응력과 변형률을 배웁니다. 뒤에 나오는 보·기둥 계산이 모두 이 공식들을 그대로 가져다 쓰므로, 여기서 공식을 확실히 익혀 두면 응용역학 전체가 쉬워집니다.
힘이 물체를 돌리려는 정도인 모멘트는 힘에 회전 중심까지의 수직 거리를 곱해 구합니다. 여러 힘의 합력이 만드는 모멘트는 각 힘이 만드는 모멘트를 더한 것과 같다는 바리뇽 정리를 이용하면 합력의 위치를 찾을 수 있습니다. 물체가 멈춰 있으려면 가로 방향 힘의 합, 세로 방향 힘의 합, 모멘트의 합이 모두 0 이어야 합니다.
단면의 성질에서는 도심, 단면 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경을 구하는 문제가 자주 나옵니다. 직사각형 단면의 도심축 단면 2차 모멘트는 bh³/12 이고, 도심에서 d 만큼 떨어진 축으로 옮길 때는 평행축 정리로 A·d² 을 더합니다. 단면계수는 단면 2차 모멘트를 끝단까지의 거리로 나눈 값이고, 회전반경은 단면 2차 모멘트를 면적으로 나눈 값의 제곱근입니다.
재료가 탄성 범위에 있을 때 응력은 탄성계수와 변형률의 곱(σ = Eε)입니다. 가로 방향 변형률과 세로 방향 변형률의 비를 푸아송비라고 하며, 전단탄성계수는 G = E/{2(1+ν)} 로 탄성계수와 이어집니다.
핵심 개념
힘의 평형조건
평면에서 물체가 정지하려면 ΣH = 0, ΣV = 0, ΣM = 0 세 식이 모두 성립해야 합니다. 이 세 식으로 미지의 힘 3개까지 구할 수 있습니다.
외우는 요령가로, 세로, 회전 세 가지가 모두 0 이어야 멈춥니다.
바리뇽 정리
여러 힘이 어떤 점에 대해 만드는 모멘트의 합은 그 힘들의 합력이 같은 점에 대해 만드는 모멘트와 같습니다. 합력의 작용 위치를 구할 때 씁니다.
외우는 요령합력 × 거리 = 각 힘 × 거리의 합.
단면 2차 모멘트와 평행축 정리
직사각형 단면(폭 b, 높이 h)의 도심축 단면 2차 모멘트는 bh³/12 입니다. 도심축에서 d 떨어진 평행한 축에 대해서는 I = I도심 + A·d² 입니다.
외우는 요령도심축 값이 가장 작다. 도심축에서 옮기면 A·d² 을 더하고, 도심축으로 옮기면 뺀다.
단면계수
단면 2차 모멘트를 도심에서 단면 끝까지의 거리로 나눈 값(Z = I/y)입니다. 직사각형 단면은 bh²/6 이며, 값이 클수록 휨에 강합니다.
외우는 요령bh³/12 를 h/2 로 나누면 bh²/6.
회전반경
단면 2차 모멘트를 단면적으로 나눈 값의 제곱근(r = √(I/A))입니다. 기둥의 세장비를 구할 때 쓰입니다.
외우는 요령I 를 A 로 나누고 루트를 씌운다.
후크의 법칙과 푸아송비
탄성 범위에서 응력 = 탄성계수 × 변형률(σ = Eε)입니다. 푸아송비 ν 는 가로 변형률 ÷ 세로 변형률이고, 전단탄성계수는 G = E/{2(1+ν)} 입니다.
외우는 요령G 는 E 를 2(1+ν) 로 나눈 값.
자주 나오는 포인트
- 평행축 정리 계산에서 도심축 값에 A·d² 을 더하는 것을 빠뜨리지 마세요.
- 단면 2차 모멘트의 h 는 휘는 방향(하중 방향)의 치수입니다. b 와 h 를 바꾸면 답이 크게 달라집니다.
- 합력의 위치 문제는 바리뇽 정리로 모멘트를 같게 놓고 풀면 됩니다.
- 회전반경은 √(I/A) 이므로 단위가 길이(mm, cm)입니다.
대표 문제 3개
검수를 마친 예상문제 가운데 이 단원의 대표 문제입니다.
문제 1. 폭 b = 300mm, 높이 h = 600mm 인 직사각형 단면에서 도심을 지나는 수평축(폭 방향 축)에 대한 단면 2차 모멘트는?
- ① 1.35 × 10⁹ mm⁴
- ② 2.16 × 10¹⁰ mm⁴
- ③ 2.7 × 10⁹ mm⁴
- ④ 5.4 × 10⁹ mm⁴
▼ 정답과 해설 보기▲ 정답과 해설 접기
정답: ④ 5.4 × 10⁹ mm⁴
핵심: 직사각형 도심축 단면 2차 모멘트 I = bh³/12 (높이를 세제곱)
단면 2차 모멘트(휨에 버티는 단면의 성질)는 축과 직각 방향 길이인 높이를 세제곱합니다.
- 식: I = bh³ / 12
- 대입: 300 × 600³ ÷ 12 = 300 × 216,000,000 ÷ 12
- 계산: 64,800,000,000 ÷ 12 = 5.4 × 10⁹ mm⁴
- 검산: 5.4 × 10⁹ × 12 ÷ 300 = 2.16 × 10⁸ = 600³ 이므로 맞습니다.
틀린 선지
- 1.35 × 10⁹ mm⁴: 폭과 높이를 바꿔 넣은 값(600 × 300³ ÷ 12)입니다.
- 2.16 × 10¹⁰ mm⁴: 밑변을 지나는 축의 공식 bh³/3 으로 계산한 값입니다.
- 2.7 × 10⁹ mm⁴: 12 대신 24 로 나눈 값입니다.
문제 2. 폭 300mm, 높이 400mm 인 직사각형 단면의 도심축(폭 방향 축)에 대한 단면계수 Z 는?
- ① 6.0 × 10⁶ mm³
- ② 1.6 × 10⁷ mm³
- ③ 8.0 × 10⁶ mm³
- ④ 2.4 × 10⁷ mm³
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정답: ③ 8.0 × 10⁶ mm³
핵심: 직사각형 단면계수 Z = bh²/6 = I ÷ (h/2)
단면계수는 단면 2차 모멘트를 도심에서 가장 먼 끝까지 거리로 나눈 값입니다. 직사각형은 Z = bh²/6 입니다.
- 식: Z = bh² / 6
- 대입: 300 × 400² ÷ 6 = 300 × 160,000 ÷ 6
- 계산: 48,000,000 ÷ 6 = 8.0 × 10⁶ mm³
- 검산: I = 300 × 400³ ÷ 12 = 1.6 × 10⁹, 이것을 h/2 = 200 으로 나누면 8.0 × 10⁶ 으로 같습니다.
틀린 선지
- 6.0 × 10⁶ mm³: 폭과 높이를 바꿔 넣은 값(400 × 300² ÷ 6)입니다.
- 1.6 × 10⁷ mm³: bh²/3 으로 계산한 값입니다.
- 2.4 × 10⁷ mm³: 6 대신 2 로 나눈 값입니다.
문제 3. 길이 2m, 단면적 500mm² 인 강봉에 인장력 50kN 이 작용한다. 탄성계수 E = 200,000MPa 일 때 늘어난 길이는?
- ① 0.5mm
- ② 2.0mm
- ③ 10mm
- ④ 1.0mm
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정답: ④ 1.0mm
핵심: 늘음량 δ = PL / (AE) (후크의 법칙)
후크의 법칙(응력 = 탄성계수 × 변형률)에서 늘음량은 δ = PL/(AE) 입니다. 단위를 N 과 mm 로 맞춥니다.
- P = 50kN = 50,000N, L = 2m = 2,000mm
- 분자: 50,000 × 2,000 = 100,000,000
- 분모: 500 × 200,000 = 100,000,000
- δ = 1.0mm
- 검산: 응력 50,000 ÷ 500 = 100MPa, 변형률 100 ÷ 200,000 = 0.0005, 0.0005 × 2,000 = 1.0mm 로 같습니다.
틀린 선지
- 0.5mm: 길이 2m 를 1m 로 잘못 넣은 값입니다.
- 2.0mm: 단면적을 절반(250mm²)으로 잘못 넣은 값입니다.
- 10mm: 단위를 바꿀 때 10배 크게 계산한 값입니다.
AI 작성 · 검수 완료 · AI가 새로 쓴 글 가운데, 작성과 분리된 AI 검증(다시 읽고 사실·수치 확인)을 통과한 단원만 싣습니다. 틀린 곳을 발견하면 알려 주세요.